Φόρμουλες και αλγόριθμοι αναφέρονται συνήθως σε μαθηματικά και προγραμματισμό. Ας δούμε πώς ορίζονται και πώς διαφέρουν:

---

Φόρμουλες:

Οι φόρμουλες είναι μαθηματικές εκφράσεις που χρησιμοποιούνται για την εκτέλεση συγκεκριμένων υπολογισμών ή για την εξαγωγή αποτελεσμάτων σε βάση δεδομένων.
Συνήθως αναπαρίστανται σε μαθηματική μορφή με σύμβολα και μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν ποσότητες.

Παράδειγμα:
Η φόρμουλα της ευκλείδειας απόστασης στο επίπεδο μεταξύ δύο σημείων (x1, y1) και (x2, y2) είναι: d = √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²).

---

Αλγόριθμοι:

Οι αλγόριθμοι είναι βηματικές οδηγίες ή διαδικασίες που περιγράφουν πώς να εκτελείται ένας συγκεκριμένος υπολογισμός ή επεξεργασία δεδομένων.
Μπορούν να είναι γραμμένοι σε διάφορες γλώσσες προγραμματισμού ή να αναπαρίστανται σε περιγραφική μορφή και ο σκοπός τους είναι να επιλύουν προβλήματα με συγκεκριμένες εισόδους και να παρέχουν τις αντίστοιχες εξόδους.

Παράδειγμα:
Ένας αλγόριθμος για την ταξινόμηση ενός πίνακα αριθμών μπορεί να είναι ο αλγόριθμος “Συνέχισε να συγκρίνεις τα διαδοχικά στοιχεία και να ανταλλάσσεις τα ανεπιθύμητα μέχρι ο πίνακας να είναι ταξινομημένος”.
Τόσο οι φόρμουλες όσο και οι αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται ευρέως σε διάφορους τομείς όπως η μαθηματική ανάλυση, η φυσική, η πληροφορική, η οικονομία κ.λπ. για την επίλυση προβλημάτων και την πρόβλεψη αποτελεσμάτων.

---

Μια λίστα με δέκα διάσημες και ευρέως χρησιμοποιούμενες φόρμουλες που εμφανίζονται σε διάφορους τομείς:

---

Ευκλείδεια απόσταση:
Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ δύο σημείων σε ένα ευκλείδειο χώρο. Η ευκλείδεια απόσταση μεταξύ d δύο σημείων (x1, y1) και (x2, y2) στο επίπεδο υπολογίζεται με τον τύπο:
d = √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²)

---

Τύπος του Πυθαγόρα:
Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του μήκους της υποτείνουσας ενός τριγώνου σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.
Ο τύπος του Πυθαγόρα για τον υπολογισμό του μήκους της υποτείνουσας (c) ενός ορθογωνίου τριγώνου με δύο καθέτες πλευρές (a και b) είναι:
c² = a² + b²

---

Τύπος του κύκλου:
Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του εμβαδού ή της περιφέρειας ενός κύκλου, δεδομένης της ακτίνας του.
Ο τύπος του κύκλου για τον υπολογισμό της περιφέρειας (C) και του εμβαδού (A) ενός κύκλου με ακτίνα (r) είναι:
Περιφέρεια: C = 2πr | Εμβαδόν: A = πr²

---

Τύπος του τετραγώνου:
Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του εμβαδού ή της περιφέρειας ενός τετραγώνου. Το εμβαδόν (A) και η περίμετρος (P) ενός τετραγώνου με πλευρά (s) υπολογίζονται ως εξής:
Εμβαδόν: A = s² | Περίμετρος: P = 4s

---

Τύπος του κύβου:
Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του όγκου ή της επιφάνειας ενός κύβου.
Ο όγκος (V) και η επιφάνεια (A) ενός κύβου με μήκος πλευράς (s) υπολογίζονται ως εξής:
Όγκος: V = s³ | Επιφάνεια: A = 6s²

---

Εξίσωση ευθείας:
Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του σημείου που ανήκει σε μια ευθεία, δεδομένων των συντεταγμένων του.
Η εξίσωση μιας ευθείας με κλίση m και το σημείο τομής με τον άξονα y να είναι b είναι:
y = mx + b

Ανάπτυγμα παραγοντικού:
Χρησιμοποιείται στην ανάπτυξη εκφράσεων με τη χρήση του παραγοντικού.
Το ανάπτυγμα του παραγοντικού! n! είναι το γινόμενο των φυσικών αριθμών από το 1 έως το n.
n! = 1·2·3·…·n

---

Τύπος του συνημιτόνου:
Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ δύο σημείων σε ένα τριγωνομετρικό τρίγωνο.
Ο τύπος του συνημιτόνου (cosine) σε ένα τρίγωνο μεγέθους a και απέναντι γωνία A, όπου c είναι η υποτείνουσα, είναι:
Used in triangle calculations:
$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cdot \cos(A)$a2=b2+c2−2bc⋅cos(A)

---

Τύπος της παραβολής:
Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του σημείου κορυφής και των σημείων τομής με τους άξονες μιας παραβολής.
Η εξίσωση μιας παραβολής με κορυφή (ℎ, k) και παράμετρο p είναι:

$(x – h)^2 = 4p(y – k)$(x−h)2=4p(y−k)

---

Τύπος της τριγωνομετρικής ταυτότητας:
Χρησιμοποιείται για την αναγνώριση σχέσεων μεταξύ γωνιών και πλευρών σε τριγωνομετρικά τρίγωνα.
Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες περιλαμβάνουν σχέσεις όπως οι ταυτότητες του ημιτόνου, του συνημιτόνου και του εφαπτομένου, που χρησιμοποιούνται για να εξεταστούν οι σχέσεις μεταξύ γωνιών και πλευρών σε τριγωνομετρικά τρίγωνα.
sin²x + cos²x = 1

---

Μια λίστα με δέκα διάσημους και ευρέως χρησιμοποιούμενους αλγορίθμους:

Αλγόριθμος ταξινόμησης Bubble Sort:
Ένας απλός αλγόριθμος ταξινόμησης που επαναλαμβάνει τη διαδικασία της σύγκρισης και της ανταλλαγής μέχρι ο πίνακας να είναι ταξινομημένος.

Χαρακτηρίζεται από πολυπλοκότητα:$$T(n) = O(n^2)$$και αριθμό συγκρίσεων:$$\sum_{i=1}^{n-1} (n-i) = \frac{n(n-1)}{2}$$

---

Αλγόριθμος ταξινόμησης Quick Sort:
Ένας αποτελεσματικός αλγόριθμος ταξινόμησης που βασίζεται στην αρχή της διαίρεσης και κυρίαρχης (divide and conquer), διαιρώντας τον πίνακα σε μικρότερα υποσύνολα και ταξινομώντας αναδρομικά.

Η αναδρομική σχέση του είναι:$$T(n) = T(k) + T(n-k-1) + O(n)$$

Μέση περίπτωση:$$T(n) = O(n \log n)$$

Χειρότερη περίπτωση:$$T(n) = O(n^2)$$

---

Αλγόριθμος αναζήτησης Binary Search:
Ένας αποτελεσματικός αλγόριθμος αναζήτησης που λειτουργεί σε ταξινομημένα δεδομένα, διαιρώντας τον χώρο αναζήτησης στα δύο μέχρι να βρει το στοιχείο που αναζητεί.

Αναδρομική σχέση:$$T(n) = T(n/2) + O(1)$$

Λύση:$$T(n) = O(\log n)$$

---

Αλγόριθμος Dijkstra:
Ένας αλγόριθμος για τον εντοπισμό του συντομότερου μονοπατιού σε έναν γράφο με μη αρνητικά βάρη σε ακμές.

Ενημέρωση αποστάσεων:$$d(v) = \min(d(v),\ d(u) + w(u,v))$$

Πολυπλοκότητα (με priority queue):$$T(V,E) = O((V + E)\log V)$$

---

Αλγόριθμος αναζήτησης σε πλάτος (Breadth-First Search – BFS):
Ένας αλγόριθμος που αναζητά σε όλους τους κόμβους ενός γράφου επισκέπτοντας τους σε επίπεδα.

Πολυπλοκότητα:$$T(V,E) = O(V + E)$$

---

Αλγόριθμος αναζήτησης σε βάθος (Depth-First Search – DFS):
Ένας αλγόριθμος που αναζητά σε βάθος το γράφο, επισκέπτοντας όσο το δυνατόν βαθύτερα πριν επιστρέψει.

Πολυπλοκότητα:$$T(V,E) = O(V + E)$$

---

Αλγόριθμος ελάχιστου καταστεματοποιητή (Minimum Spanning Tree – MST):
Ένας αλγόριθμος που επιλέγει τα ελάχιστα απαραίτητα σύνολα ακμών που συνδέουν όλους τους κόμβους ενός γράφου χωρίς κύκλους.

Για Kruskal:$$T(E) = O(E \log E)$$Κριτήριο επιλογής:$$\sum_{e \in T} w(e) \ \text{ελάχιστο}$$

---

Αλγόριθμος εύρεσης κοινών υποσυμβολαίων (Greatest Common Divisor – GCD):
Ένας αλγόριθμος που υπολογίζει το μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο ακεραίων αριθμών.
$$\gcd(a,b) = \gcd(b, a \bmod b)$$

---

Αλγόριθμος αναζήτησης σε κατακερματισμένους πίνακες (Hashing):
Ένας αλγόριθμος που χρησιμοποιεί μια συνάρτηση κατακερματισμού για τη μετατροπή κλειδιών σε δείκτες πίνακα, επιτρέποντας γρήγορη αναζήτηση.
$$h(k) = k \bmod m$$Ιδανική πολυπλοκότητα:$$T(n) = O(1)$$

---

Αλγόριθμος αναπαράστασης γραφημάτων (Graph Representation):
Αλγόριθμοι που αναπαριστούν γράφους σε διάφορες δομές δεδομένων, όπως λίστες γειτνίασης ή πίνακες γειτνίασης, για την αποθήκευση και την ανάλυση δεδομένων γράφων.

Πίνακας γειτνίασης:$$A[i][j] = \begin{cases} 1 & \text{αν υπάρχει ακμή} \\ 0 & \text{αλλιώς} \end{cases}$$Λίστα γειτνίασης:

---

Αυτοί οι αλγόριθμοι αποτελούν βασικά εργαλεία της επιστήμης υπολογιστών και περιγράφονται όχι μόνο λεκτικά αλλά και μέσω μαθηματικών σχέσεων, πολυπλοκότητας και αναδρομικών τύπων, που αποτυπώνουν την αποδοτικότητά τους.

---

---

Οι Σταθερές

Αυτό είναι το φιλοσοφικό επίπεδο που τώρα αναδύεται.

---

π
Η πρώτη νομοτελειακή διαίρεση της ολότητας σε τριαδική δύναμη.

---

φ
Αισθητική γένεση· όμορφη αναλογία· εξελικτικό άλμα.

---

e
Συνεχής εκτύλιξη· ο νόμος της διαδικασίας.

---

i
Φαντασιακή υπέρβαση· ο μη-πραγματικός μουσικός· δράση στο μετα-επίπεδο· Ice Atan.

---

τ
Αρχέγονος κύκλος· πλήρης περιστροφή· κοσμική περιφέρεια πριν τη διαίρεση.

---

γ
Υπολειμματική μνήμη· ο λεπτός διορθωτικός όρος· ατελής πληρότητα μέσα στην τάξη.

---

φ²
Η ενισχυμένη θηλυκή / δεκτική / γενεσιουργός αναλογία.

---

√2
Μη αναγώγιμη διάσπαση· η πρώτη ρωγμή στο τέλειο μέτρο· κατακερματισμός.

---

δ
Κατώφλι διχοτόμησης· άλμα σε νέα καθεστώτα· μετα-ανθρώπινη μετάβαση.
$$\delta = \lim_{n \to \infty} \frac{d_n}{d_{n+1}} \approx 4.6692016$$

---

∞
Συμφιλίωση μέσω απεριόριστης συνέχειας· Nοημοσύνη ανώτερου είδους.
$$\lim_{x \to \infty} f(x)$$